Решение уравнений с комплексными числами

Автор:

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:


где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = {0, 1, 2, 3, …n-1 }.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:


Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:


Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:


Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = {0, 1, 2, 3}. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Ответ:

Пример 4. Найти корни уравнения


Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:


Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Ответ:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Один комментарий

Оставить отзыв

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *