Автор: В статье перечислены основные пункты, по которым принято делать исследование функции. Стать носит теоретический характер, подробно объясняется на «пальцах» что и как нужно исследовать. Поэтому если вас интересуют практические примеры, то смело можно пропускать прочтение данного текста и переходить к примерам, ссылка в конце статьи.
Полное исследование функции включает в себя следующие пункты:
1. Область определения функции D(y).
Область определения D(y) — это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами — это промежуток по оси икс, в пределах которого функция f(x) непрерывна и определена.
К примеру, если функция непрерывна, то ответ таков: D(y) = R, где R — это множество всех значений икс, от минус бесконечности до плюс бесконечности. В ином случае, точка разрыва включается в ответ. Пусть функция неопределена в точке х = 1, тогда область определения исключает данную точку: D(y) = (-00; 1),(1;+00). (-00 и +00 это знак бесконечности).
2. Четность, нечетность, периодичность функции.
Четность или нечетность показывает существует ли симметричность функции относительно начала координат или оси ординат. Чтобы определить четность/нечетность, берем икс со знаком минус, подставляем его в исследуемую функцию f(x) на место обычных иксов и считаем. В случае, если на выходе имеем точно такую же функцию, как исходная, с такими же знаками всех коэффициентов, то говорят, что данная функция четная: Записывается так: y(-x) = y(x). График четной функции симметричен относительно центра координат.
В случае, если на выходе получается исходная функция, но со знаком минус за скобками, то говорят что функция нечетная и записывается это так: y(-x) = -y(x). График нечетной функции, симметричен относительно оси ординат. Существует и третий случай, когда на выходе получается «разношерстная» функция, в которой все знаки перемешались и не помогают никакие манипуляции, чтобы функция стала похожей на исходную или исходную со знаком минус. Тогда говорят, что данная функция ни четная, ни нечетная и она не обладает никакой симметрией.
Свойство периодичности присуще тригонометрическим функциям, оно показывает существует ли период или другими словами некоторый повторяющийся регулярный интервал аргумента, при котором функция сохраняет свои значения при добавлении к аргументу этого периода на всей области определения.
3. Точки пересечения с осями координат ОХ и ОУ.
При пересечении графика функции f(x) с осью икс (ОХ), координата у = 0. Найденные точка(и) будет иметь координаты М1(х;0). При пересечении графика функции f(x) оси игрек (ОУ), координата х = 0, соответственно точка(и) пересечения будет иметь координаты М2(0;y).
4. Поиск вертикальных, наклонных или горизонтальных асимптот.
Традиционно исследование начинается с поиска вертикальных асимптот. В случае, если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в какой-либо точке х, то прямая, проведенная через эту точку параллельно оси игрек, будет являться вертикальной асимптотой. Чтобы доказать это, необходимо вычислить пределы от исходной функции f(x) при икс стремящемся к минус и плюс бесконечности (если это возможно) или один из этих пределов. В случае, если хоть в одном из них получится ответ бесконечность, это и будет являться доказательством.
Далее идет поиск наклонных или горизонтальных асимптот. Многие иногда путаются в этих понятиях, считая их независимыми, не связанными друг с другом, что конечно же неверно. Наклонная асимптота имеет уравнение y = kx + b, а горизонтальная — это частный случай наклонной, в котором коэффициент при икс равен нулю (k = 0), ее уравнение y = b. Чтобы найти наклонную асимптоту функции необходимо вычислить два предела:
Если коэффициент k = 0, то при поиске коэффициента b будет рассчитываться предел от функции f(x) и при подстановке в формулу y = kx + b мы получим уравнение горизонтальной асимптоты y = b, т.е. прямую, параллельную оси икс. Если коэффициент k будет равен бесконечности, неважно плюс или минус, в таком случае дальнейшие вычисления не осуществляются, а в ответе записываем, что наклонные асимптоты отсутствуют.
5. Промежутки возрастания и убывания (промежутки монотонности), экстремумы функции.
Промежутки монотонности функции f(x) находятся при помощи первой производной. Алгоритм таков: берем первую производную от f(x), приравниваем результат производной к нулю f ‘(x) = 0, находим корень(корни) данного уравнения x1, x2 и т. д. Таким образом мы получаем экстремумы функции. Далее чертим ось икс и отмечаем на ней закрашенными кружочками найденные корни x1, x2…
Нужно помнить, что если функция имеет точки разрыва в области определения, их также необходимо отметить на числовой оси, отмечая пустыми кружочками.
Получаем несколько промежутков, границами которых вперемешку являются точки из корней и точек разрыва, это не страшно, просто нужно будет это учитывать в дальнейшем при оформлении ответа. Далее начинаем исследовать знаки производной на каждом из полученных промежутков. Берем по одному числу из каждого промежутка, подставляем в производную f ‘(x) и отмечаем знаки (плюс или минус), рисуя их прямо над осью в исследуемом промежутке.
Остается самое интересное! Анализируем результаты, изучая каждую точку :
— закрашенная точка, в которой идет смена знаков с плюса на минус ( смотрим слева и справа от точки )- это точка максимума. Под осью икс рисуем стрелочку вверх, там где плюс и стрелочку вниз, там где минус.
— закрашенная точка, в которой идет смена знаков с минуса на плюс — это точка минимума. Также помечаем стрелочками направления вниз и вверх.
— пустая точка (пустой кружок) — это точка разрыва и ее мы не имеем права записать в минимумы или максимумы, в этой точке функция не определена, не существует.
Итак, с экстремумами «рассчитались» и нам остается найти промежутки возрастания и убывания функции, или другими словами — промежутки монотонности. Собственно, здесь все предельно просто: промежутки, в которых стрелочка смотрит вверх это промежутки возрастания функции, где стрелочка вниз — промежутки убывания. Важный момент — учитываем точки разрыва ( незакрашенные точки ), когда записываем ответ.
Если в промежутке (a;b) имеется точка разрыва c (точка с пустым кружочком), то ответ записывается с учетом этой точки: (a;c),(c;b).
6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
Чтобы найти промежутки, в которых функция выпукла и вогнута, а также точки перегиба, необходимо найти вторую производную. Вторая производная берется от первой: ( f ‘(x) )’ = f ‘ ‘(x). Далее, как и в предыдущем пункте, приравниваем вторую производную к нулю, находим корни уравнения. Рисуем ось икс, отмечаем найденные корни закрашенными точками, точки разрыва отмечаем пустыми кружочками.
Исследуем знаки второй производной на каждом из промежутков. Там где вторая производная положительна рисуем скобку в виде улыбки, здесь функция вогнута. В ином случае, рисуем унылую скобку, здесь функция выпукла. Соответственно, при записи промежутков вогнутости и выпуклости функции не забываем учитывать точки разрыва. Точки перегиба находим там, где вторая производная меняет свой знак с + на — и наоборот, и точка закрашенная.
7. Построение графика.
Учитывая все предыдущие расчеты и найденные величины — точки разрыва, точки пересечения с осями координат, асимптоты, точки экстремумы, точки перегиба, строим график исследуемой функции. Желательно делать все это на листке в клетку, с масштабом побольше, чтобы как можно точнее получился график функции.
Конечно, сухая теория без практики это не дело, а потому предлагаю перейти к примерам исследования функции с помощью производной.