Автор: Из данной статьи вы узнаете, как найти площадь фигуры, ограниченной линиями, используя вычисления с помощью интегралов. Впервые с постановкой такой задачи мы сталкиваемся в старших классах, когда только-только пройдено изучение определенных интегралов и пора приступить к геометрической интерпретации полученных знаний на практике.
Итак, что потребуется для успешного решения задачи по поиску площади фигуры с помощью интегралов:
- Умение грамотно строить чертежи;
- Умение решать определенный интеграл с помощью известной формулы Ньютона-Лейбница;
- Умение «увидеть» более выгодный вариант решения — т.е. понять, как в том или ином случае будет удобнее проводить интегрирование? Вдоль оси икс (OX) или оси игрек (OY)?
- Ну и куда без корректных вычислений? ) Сюда входит понимание как решать тот иной тип интегралов и правильные численные вычисления.
Алгоритм решения задачи по вычислению площади фигуры, ограниченной линиями:
1. Строим чертеж. Желательно это делать на листке в клетку, с большим масштабом. Подписываем карандашом над каждым графиком название этой функции. Подпись графиков делается исключительно ради удобства дальнейших вычислений. Получив график искомой фигуры, в большинстве случаев будет видно сразу, какие пределы интегрирования будут использованы. Таким образом мы решаем задачу графическим методом. Однако бывает так, что значения пределов дробные или иррациональные. Поэтому, можно сделать дополнительные расчеты, переходим в шагу два.
2. Если явно не заданы пределы интегрирования, то находим точки пересечения графиков друг с другом, и смотрим, совпадает ли наше графическое решение с аналитическим.
3. Далее, необходимо проанализировать чертеж. В зависимости от того, как располагаются графики функций, существуют разные подходы к нахождению площади фигуры. Рассмотрим разные примеры на нахождение площади фигуры при помощи интегралов.
3.1. Самый классический и простой вариант задачи, это когда нужно найти площадь криволинейной трапеции. Что такое криволинейная трапеция? Это плоская фигура, ограниченная осью икс ( у = 0 ), прямыми х = а, х = b и любой кривой, непрерывной на промежутке от a до b. При этом, данная фигура неотрицательна и располагается не ниже оси абсцисс. В этом случае, площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу, вычисляемого по формуле Ньютона-Лейбница:
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 — 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Решение:
Какими линиями ограничена фигура? Имеем параболу y = x2 — 3x + 3, которая располагается над осью ОХ, она неотрицательна, т.к. все точки этой параболы имеют положительные значения. Далее, заданы прямые х = 1 и х = 3, которые пролегают параллельно оси ОУ, являются ограничительными линиями фигуры слева и справа. Ну и у = 0, она же ось икс, которая ограничивает фигуру снизу. Полученная фигура заштрихована, как видно из рисунка слева. В данном случае, можно сразу приступать к решению задачи. Перед нами простой пример криволинейной трапеции, которую далее решаем с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
3.2. В предыдущем пункте 3.1 разобран случай, когда криволинейная трапеция расположена над осью икс. Теперь рассмотрим случай, когда условия задачи такие же, за исключением того, что функция пролегает под осью икс. К стандартной формуле Ньютона-Лейбница добавляется минус. Как решать подобную задачу рассмотрим далее.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Решение:
В данном примере имеем параболу y = x2 + 6x + 2, которая берет свое начало из-под оси ОХ, прямые х = -4, х = -1, у = 0. Здесь у = 0 ограничивает искомую фигуру сверху. Прямые х = -4 и х = -1 это границы, в пределах которых будет вычисляться определенный интеграл. Принцип решения задачи на поиск площади фигуры практически полностью совпадает с примером номер 1. Единственное различие в том, что заданная функция не положительная, и все также непрерывная на промежутке [-4; -1]. Что значит не положительная? Как видно из рисунка, фигура, которая заключается в рамках заданных иксов имеет исключительно «отрицательные» координаты, что нам и требуется увидеть и помнить при решении задачи. Площадь фигуры ищем по формуле Ньютона-Лейбница, только со знаком минус в начале.
Статья не завершена.